रैखिक प्रतिगमनमा b प्यारामिटर (उत्तम फिट रेखाको y-अवरोधन) कसरी गणना गरिन्छ?

/ / मा प्रकाशित कृत्रिम खुफिया, EITC/AI/MLP मेशिन शिक्षा पाइथनको साथ, सन्दर्भ, प्रतिगमन बुझ्दै

रैखिक प्रतिगमनको सन्दर्भमा, प्यारामिटर b (सामान्यतया उत्तम-फिट रेखाको y-अवरोधन भनिन्छ) रैखिक समीकरणको महत्त्वपूर्ण भाग हो। y = m x + bजहाँ m रेखाको ढलान प्रतिनिधित्व गर्दछ। तपाईंको प्रश्न y-अवरोध बीचको सम्बन्धसँग सम्बन्धित छ b, निर्भर चर को माध्यम y र स्वतन्त्र चर x, र ढलान m.

प्रश्नलाई सम्बोधन गर्न, हामीले रेखीय प्रतिगमन समीकरणको व्युत्पत्तिलाई विचार गर्न आवश्यक छ। रैखिक प्रतिगमनले निर्भर चर बीचको सम्बन्धलाई मोडेल गर्ने लक्ष्य राख्छ y र एक वा बढी स्वतन्त्र चरहरू x अवलोकन गरिएको डाटामा रेखीय समीकरण फिट गरेर। सरल रैखिक प्रतिगमनमा, जसमा एकल भविष्यवाणी चर समावेश हुन्छ, सम्बन्ध समीकरणद्वारा मोडेल गरिएको छ:

    \[ y = mx + b \]

यहाँ, m (ढलान) र b (y-intercept) मापदण्डहरू हुन् जुन निर्धारण गर्न आवश्यक छ। ढलान m मा परिवर्तन संकेत गर्दछ y एक एकाइ परिवर्तनको लागि x, जबकि y-अवरोध b को मूल्य प्रतिनिधित्व गर्दछ y जब x शून्य हो।

यी प्यारामिटरहरू फेला पार्न, हामी सामान्यतया न्यूनतम वर्गहरूको विधि प्रयोग गर्छौं, जसले अवलोकन गरिएको मानहरू र मोडेलद्वारा भविष्यवाणी गरिएको मानहरू बीचको वर्ग भिन्नताहरूको योगलाई न्यूनतम गर्दछ। यस विधिले ढलानका लागि निम्न सूत्रहरूमा परिणाम दिन्छ m र y-अवरोध b:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

यहाँ, बार{x} र \bar{y} को माध्यम हो x र y मानहरू, क्रमशः। अवधि \sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} को सहप्रसरण को प्रतिनिधित्व गर्दछ x र y, जबकि \sum{(x_i - \bar{x})^2} को भिन्नता को प्रतिनिधित्व गर्दछ x.

y-अवरोधका लागि सूत्र b निम्न रूपमा बुझ्न सकिन्छ: एक पटक ढलान m निर्धारित छ, y-अवरोध b को माध्य लिएर गणना गरिन्छ y मानहरू र ढलानको उत्पादन घटाउँदै m र को मतलब x मानहरू। यसले सुनिश्चित गर्दछ कि प्रतिगमन रेखा बिन्दु मार्फत जान्छ (\bar{x}, \bar{y}), जुन डाटा बिन्दुहरूको केन्द्रिय हो।

यसलाई उदाहरणको साथ चित्रण गर्न, निम्न मानहरू भएको डेटासेटलाई विचार गर्नुहोस्:

    \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 6 \\ \hline \ end{ array} \]

पहिलो, हामी को माध्यम गणना x र y:

    \[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 \]

    \[ \bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = 4 \]

अर्को, हामी ढलान गणना गर्छौं m:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ = frac{(1-3)(2-4) + (2-3)(3-4) + (3-3)(5-4) + (4-3)(4-4) + (5-3)(6-4)}{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^ २} \]

    \[ = frac{(-2)(-2) + (-1)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{(-2) ^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2} \]

    \[ = \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 4}{4 + 1 + 0 + 1 + 4} \]

    \[ = \frac{9}{10} = ०.९ \]

अन्तमा, हामी y-अवरोध गणना गर्छौं b:

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

    \[ = ४ - ०.९ \ गुणा ३ \]

    \[ = ४ - २.७ \]

    \[ = १.३ \]

त्यसकारण, यो डेटासेटको लागि रैखिक प्रतिगमन समीकरण हो:

    \[ y = ०.९x + १.३ \]

यो उदाहरणले देखाउँछ कि y-अवरोध b वास्तवमा सबैको मतलब बराबर छ y ढलान को गुणन माइनस मान m र सबैको मतलब x मानहरू, जसले सूत्रसँग पङ्क्तिबद्ध गर्दछ b = \bar{y} - m\bar{x}.

यो नोट गर्न महत्त्वपूर्ण छ कि y-अवरोध b सबैको मतलब मात्र होइन y मानहरू र ढलानको उत्पादन m र सबैको मतलब x मानहरू। यसको सट्टा, यसले ढलानको उत्पादन घटाउने समावेश गर्दछ m र सबैको मतलब x सबैको औसतबाट मानहरू y मान।

यी प्यारामिटरहरूको व्युत्पत्ति र अर्थ बुझ्न रैखिक प्रतिगमन विश्लेषणको परिणामहरूको व्याख्या गर्न आवश्यक छ। y-अवरोध b निर्भर चलको आधारभूत स्तरको बारेमा बहुमूल्य जानकारी प्रदान गर्दछ y जब स्वतन्त्र चर x शून्य छ। ढलान mअर्कोतर्फ, बीचको सम्बन्धको दिशा र बललाई संकेत गर्दछ x र y.

व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा, रैखिक प्रतिगमन व्यापक रूपमा भविष्यवाणी मोडलिङ र डेटा विश्लेषणको लागि प्रयोग गरिन्छ। यसले अर्थशास्त्र, वित्त, जीवविज्ञान, र सामाजिक विज्ञान सहित विभिन्न क्षेत्रहरूमा आधारभूत प्रविधिको रूपमा काम गर्दछ। अवलोकन गरिएको डेटामा रैखिक मोडेल फिट गरेर, अनुसन्धानकर्ताहरू र विश्लेषकहरूले भविष्यवाणी गर्न, प्रचलनहरू पहिचान गर्न, र चरहरू बीचको सम्बन्धलाई उजागर गर्न सक्छन्।

पाइथन, डेटा विज्ञान र मेसिन लर्निङको लागि लोकप्रिय प्रोग्रामिङ भाषा, रैखिक प्रतिगमन प्रदर्शन गर्नका लागि धेरै पुस्तकालयहरू र उपकरणहरू प्रदान गर्दछ। उदाहरणका लागि, 'scikit-learn' पुस्तकालयले यसको 'LinearRegression' वर्ग मार्फत रेखीय प्रतिगमनको सीधा कार्यान्वयन प्रदान गर्दछ। यहाँ पाइथनमा `scikit-learn` प्रयोग गरेर रेखीय प्रतिगमन कसरी गर्ने भन्ने एउटा उदाहरण छ:

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

यस उदाहरणमा, 'LinearRegression' वर्गलाई रेखीय प्रतिगमन मोडेल सिर्जना गर्न प्रयोग गरिन्छ। नमूना डेटामा मोडेललाई तालिम दिन `fit` विधि भनिन्छ, र `coef_` र `intercept_` विशेषताहरू क्रमशः स्लोप र y-intercept पुन: प्राप्त गर्न प्रयोग गरिन्छ।

y-अवरोध b रैखिक प्रतिगमनमा सबैको औसत बराबर हुँदैन y मानहरू र ढलानको उत्पादन m र सबैको मतलब x मानहरू। बरु, यो सबैको औसत बराबर छ y ढलान को गुणन माइनस मान m र सबैको मतलब x सूत्रद्वारा दिइएको मानहरू b = \bar{y} - m\bar{x}.

अन्य भर्खरका प्रश्न र उत्तरहरू सम्बन्धमा EITC/AI/MLP मेशिन शिक्षा पाइथनको साथ:

EITC/AI/MLP Machine Learning with Python मा थप प्रश्न र उत्तरहरू हेर्नुहोस्

थप प्रश्न र उत्तरहरू:

अन्तर्गत ट्याग गरिएको: , , , , ,