के PSPACE वर्ग EXPSPACE वर्गको बराबर छैन?
PSPACE वर्ग EXPSPACE वर्गको बराबर छैन भन्ने प्रश्न कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तमा एक आधारभूत र समाधान नभएको समस्या हो। एक व्यापक समझ प्रदान गर्न, यी जटिलता वर्गहरूको परिभाषा, गुणहरू, र प्रभावहरू, साथै अन्तरिक्ष जटिलताको व्यापक सन्दर्भलाई विचार गर्न आवश्यक छ।
परिभाषा र आधारभूत गुणहरू
PSPACE: वर्ग PSPACE ले सबै निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जुन ट्युरिङ मेसिनद्वारा स्पेसको बहुपद मात्रा प्रयोग गरेर समाधान गर्न सकिन्छ। औपचारिक रूपमा, एक भाषा L PSPACE मा हुन्छ यदि त्यहाँ ट्युरिङ मेसिन M र बहुपद प्रकार्य p(n) अवस्थित छ जस्तै कि प्रत्येक इनपुट x को लागि, मेसिन M ले निर्णय गर्छ कि x L मा धेरै p(|x|) स्पेस प्रयोग गरी छ। PSPACE ले बहुपदीय समय (P) मा समाधान गर्न सकिने समस्याहरू र PSPACE का लागि पूर्ण भएका समस्याहरू, जस्तै क्वान्टिफाइड बुलियन सूत्र (QBF) समस्याहरू समावेश गर्दछ।
EXPSPACE: वर्ग EXPSPACE ले सबै निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जुन ट्युरिङ मेसिनले स्पेसको घातीय मात्रा प्रयोग गरेर समाधान गर्न सकिन्छ। विशेष रूपमा, भाषा L EXPSPACE मा हुन्छ यदि त्यहाँ ट्युरिङ मेसिन M र एक्सपोनेन्शियल प्रकार्य f(n) अवस्थित छ जस्तै कि प्रत्येक इनपुट x को लागि, मेसिन M ले x L मा छ कि छैन भनेर निर्णय गर्छ 2^f(|x|) ठाउँ। EXPSPACE PSPACE भन्दा ठूलो वर्ग हो, किनकि यसले समस्याहरूको फराकिलो दायराको समाधानलाई सक्षम पार्दै, थप स्पेसको लागि अनुमति दिन्छ।
PSPACE र EXPSPACE बीचको सम्बन्ध
PSPACE र EXPSPACE बीचको सम्बन्ध बुझ्नको लागि, अन्तरिक्ष जटिलता वर्गहरूको पदानुक्रम पहिचान गर्न महत्त्वपूर्ण छ। परिभाषा अनुसार, PSPACE EXPSPACE भित्र समावेश छ किनभने बहुपदीय स्पेस प्रयोग गरेर हल गर्न सकिने कुनै पनि समस्या घातांकीय स्पेस प्रयोग गरेर पनि समाधान गर्न सकिन्छ। औपचारिक रूपमा, PSPACE ⊆ EXPSPACE। यद्यपि, कुराकानी आवश्यक रूपमा सत्य होइन; यो व्यापक रूपमा विश्वास गरिन्छ कि EXPSPACE ले समस्याहरू समावेश गर्दछ जुन बहुपदीय स्पेस प्रयोग गरेर हल गर्न सकिँदैन, PSPACE ≠ EXPSPACE को संकेत गर्दछ।
उदाहरण र प्रभावहरू
QBF समस्यालाई विचार गर्नुहोस्, जुन PSPACE-पूर्ण छ। यो समस्यामा एक परिमाणित बुलियन सूत्रको सत्यता निर्धारण गर्ने समावेश छ, र यसलाई बहुपदीय स्थान प्रयोग गरेर समाधान गर्न सकिन्छ। QBF PSPACE-पूर्ण भएकोले, PSPACE मा भएको कुनै पनि समस्यालाई बहुपदीय समयमा QBF मा घटाउन सकिन्छ। अर्कोतर्फ, EXPSPACE मा समस्याको उदाहरण तर PSPACE मा आवश्यक छैन घातीय स्पेस बाउन्डहरूसँग ट्युरिङ मेसिनहरू वैकल्पिक गर्न पहुँचयोग्य समस्या हो। यो समस्याले धेरै कन्फिगरेसनहरू द्रुत रूपमा ट्र्याक गर्न आवश्यक छ, जुन बहुपदीय स्थानको साथ असम्भव छ।
अन्तरिक्ष पदानुक्रम प्रमेय
अन्तरिक्ष पदानुक्रम प्रमेयले PSPACE कडाईका साथ EXPSPACE भित्र समावेश छ भन्ने विश्वासको लागि औपचारिक आधार प्रदान गर्दछ। यो प्रमेयले बताउँछ कि कुनै पनि स्पेस-कन्स्ट्रक्टेबल प्रकार्य f(n) को लागि, त्यहाँ एक भाषा अवस्थित छ जुन स्पेस f(n) मा निर्णय गर्न सकिन्छ तर स्पेस o(f(n) मा होइन। यस प्रमेयलाई f(n) = 2^n सँग लागू गर्दा, हामीले घातीय स्थानमा समाधान गर्न सकिने समस्याहरू छन् जुन बहुपदीय स्पेस सहित कुनै पनि उप-घातीय स्थानमा समाधान गर्न सकिँदैन। त्यसकारण, स्पेस हाइरार्की प्रमेयले PSPACE EXPSPACE, अर्थात्, PSPACE ⊂ EXPSPACE भित्र निहित छ भनेर संकेत गर्छ।
PSPACE को समाधान नगरिएको प्रकृति ≠ EXPSPACE
स्पेस हाइरार्की प्रमेय द्वारा प्रदान गरिएको बलियो प्रमाणको बावजुद, PSPACE EXPSPACE बराबर छैन भन्ने प्रश्न अनसुलझे रहन्छ। यो किनभने कडा असमानता प्रमाणित गर्न PSPACE ≠ EXPSPACE ले PSPACE मा समाधान गर्न नसकिने EXPSPACE मा एक विशेष समस्याको अस्तित्व प्रदर्शन गर्न आवश्यक छ, जुन आजसम्म पूरा भएको छैन। कठिनाई जटिलता वर्गहरू बीचको विभाजनहरू प्रमाणित गर्ने अन्तर्निहित चुनौतीहरूमा निहित छ, कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तमा एक साझा विषयवस्तु।
फराकिलो सन्दर्भ र सम्बन्धित जटिलता वर्गहरू
PSPACE र EXPSPACE बीचको सम्बन्धलाई जटिलता वर्गहरूको फराकिलो परिदृश्य भित्र सन्दर्भित गर्न सकिन्छ। उदाहरणका लागि, वर्ग P (बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिने समस्याहरू) PSPACE को एक उपसमूह हो, र यो P ≠ PSPACE हो भनेर व्यापक रूपमा विश्वास गरिन्छ। त्यसैगरी, वर्ग NP (nondeterministic polynomial time) पनि PSPACE भित्र समावेश छ, र प्रसिद्ध P बनाम NP समस्या क्षेत्रको केन्द्रीय खुला प्रश्न हो। यी वर्गहरू बीचको कन्टेनमेन्ट सम्बन्धहरू निम्नानुसार संक्षेप गरिएका छन्:
- P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXPSPACE
यी वर्गहरू बाहेक, त्यहाँ अन्य महत्त्वपूर्ण अन्तरिक्ष जटिलता वर्गहरू छन्, जस्तै L (लोगारिथमिक स्पेस) र NL (ननडेटरमिनिस्टिक लोगारिदमिक स्पेस), जुन PSPACE का सबसेटहरू हुन्। यी वर्गहरू बीचको सम्बन्धले स्पेस आवश्यकताहरूमा आधारित कम्प्युटेसनल जटिलताको पदानुक्रमलाई थप चित्रण गर्दछ।
PSPACE EXPSPACE बराबर छैन भन्ने प्रश्न कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तमा एक आधारभूत र समाधान नभएको समस्या हो। जबकि अन्तरिक्ष पदानुक्रम प्रमेयले PSPACE कडाईका साथ EXPSPACE भित्र निहित छ भन्ने बलियो प्रमाण प्रदान गर्दछ, PSPACE ≠ EXPSPACE को कडा असमानताको औपचारिक प्रमाण मायावी रहन्छ। यस प्रश्नको अन्वेषणले जटिलता वर्गहरूको फराकिलो परिदृश्य र तिनीहरू बीचको पृथकता प्रमाणित गर्ने अन्तर्निहित चुनौतीहरूमा प्रकाश पार्छ।
अन्य भर्खरका प्रश्न र उत्तरहरू सम्बन्धमा जटिलता:
- के P जटिलता वर्ग PSPACE वर्गको उपसमूह हो?
- के हामी एक निश्चित TM मा कुनै पनि NP पूर्ण समस्याको लागि एक कुशल बहुपद समाधान खोजेर Np र P वर्ग समान छन् भनेर प्रमाणित गर्न सक्छौं?
- के NP वर्ग EXPTIME कक्षा बराबर हुन सक्छ?
- के PSPACE मा समस्याहरू छन् जसको लागि कुनै ज्ञात NP एल्गोरिथ्म छैन?
- के एक SAT समस्या NP पूर्ण समस्या हुन सक्छ?
- के NP जटिलता वर्गमा समस्या हुन सक्छ यदि त्यहाँ एक गैर-निर्धारित ट्युरिङ मेसिन छ जसले यसलाई बहुपद समयमा समाधान गर्नेछ।
- NP बहुपदीय समय प्रमाणिकरण भएका भाषाहरूको वर्ग हो
- के P र NP वास्तवमा एउटै जटिलता वर्ग हो?
- के प्रत्येक सन्दर्भ मुक्त भाषा P जटिलता वर्गमा छ?
- के त्यहाँ बहुपद-समय प्रमाणिकरणहरूको साथ निर्णय समस्याहरूको वर्गको रूपमा NP को परिभाषा र वर्ग P मा पनि बहुपद-समय प्रमाणिकरणहरू छन् भन्ने तथ्य बीचको विरोधाभास छ?
जटिलतामा थप प्रश्न र उत्तरहरू हेर्नुहोस्