के P र NP वास्तवमा एउटै जटिलता वर्ग हो?

/ / मा प्रकाशित Cybersecurity, EITC/IS/CCTF कम्प्युटेशनल जटिलता सिद्धान्त आधारभूत, जटिलता, NP- पूर्णता

P बराबर NP हुन्छ कि भन्ने प्रश्न कम्प्युटर विज्ञान र गणितमा सबैभन्दा गहिरो र समाधान नभएको समस्या हो। यो समस्या कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तको मुटुमा रहेको छ, एउटा क्षेत्र जसले कम्प्युटेसनल समस्याहरूको अन्तर्निहित कठिनाईको अध्ययन गर्दछ र तिनीहरूलाई समाधान गर्न आवश्यक स्रोतहरू अनुसार वर्गीकरण गर्दछ।

प्रश्न बुझ्नको लागि, वर्ग P र NP को परिभाषाहरू बुझ्न आवश्यक छ। वर्ग P मा निर्णय समस्याहरू (हो/होइन जवाफमा समस्याहरू) समावेश हुन्छन् जुन बहुपद समयमा एक निश्चित ट्युरिङ मेसिनद्वारा समाधान गर्न सकिन्छ। बहुपद समयले समस्या समाधान गर्न आवश्यक समयलाई इनपुटको साइजको बहुपद प्रकार्यको रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ भन्ने बुझाउँछ। P मा समस्याहरूका उदाहरणहरूमा संख्याहरूको सूची क्रमबद्ध गर्ने (जुन O(n log n) समयमा गर्न सकिन्छ मर्जसोर्ट जस्ता कुशल एल्गोरिदमहरू प्रयोग गरेर) र Euclidean एल्गोरिदम (जुन O(log) मा चल्छ। (min (a, b))) समय)।

अर्कोतर्फ, वर्ग NP ले निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जसको लागि एक निश्चित समाधानलाई निर्णायक ट्युरिङ मेसिनद्वारा बहुपदीय समयमा प्रमाणित गर्न सकिन्छ। यसको मतलब यो हो कि यदि कसैले समस्याको उम्मेदवार समाधान प्रदान गर्दछ भने, कसैले यसको शुद्धता कुशलतापूर्वक जाँच गर्न सक्छ। महत्त्वपूर्ण रूपमा, NP ले समस्या आफैं बहुपदीय समयमा समाधान गर्न सकिन्छ भनेर संकेत गर्दैन, केवल प्रस्तावित समाधान छिट्टै प्रमाणित गर्न सकिन्छ। NP मा समस्याहरूको उदाहरणहरूमा बुलियन सन्तुष्टि समस्या (SAT) समावेश छ, जहाँ एक दिइएको बुलियन सूत्रलाई सत्य बनाउने चरहरूमा सत्य मानहरूको असाइनमेन्ट अवस्थित छ कि छैन भनेर निर्धारण गर्न खोज्छ, र ह्यामिलटोनियन चक्र समस्या, जसले त्यहाँ चक्र छ कि छैन भनेर सोध्छ। जसले ग्राफको प्रत्येक भेर्टेक्सलाई ठ्याक्कै एक पटक भ्रमण गर्छ।

P vs NP प्रश्नले सोध्छ कि प्रत्येक समस्या जसको समाधान बहुपद समयमा प्रमाणित गर्न सकिन्छ (अर्थात, NP मा प्रत्येक समस्या) बहुपद समयमा पनि समाधान गर्न सकिन्छ (अर्थात, P मा छ)। औपचारिक रूपमा, प्रश्न हो कि P = NP। यदि P बराबर NP थियो भने, यसले प्रत्येक समस्या जसको लागि द्रुत रूपमा प्रमाणित गर्न सकिन्छ भनेर पनि चाँडै समाधान गर्न सकिन्छ भन्ने संकेत गर्दछ। यसले क्रिप्टोग्राफी, अप्टिमाइजेसन, र आर्टिफिसियल इन्टेलिजेन्स जस्ता क्षेत्रहरूमा गहिरो प्रभाव पार्ने छ, किनकि धेरै वर्तमान जटिल समस्याहरू सम्भावित रूपमा कुशलतापूर्वक समाधान गर्न सकिन्छ।

दशकौंको अनुसन्धानको बावजुद, P बनाम NP प्रश्न खुला रहन्छ। कसैले पनि P = NP वा P ≠ NP प्रमाणित गर्न सकेको छैन। यस समस्याको कठिनाईलाई क्ले गणित संस्थान द्वारा सात "सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याहरू" मध्ये एकको रूपमा समावेश गरेर, सही समाधानको लागि $ 1 मिलियन पुरस्कारको साथमा अधोरेखित गरिएको छ। रिजोलुसनको कमीले दुवै सैद्धान्तिक र लागू कम्प्युटर विज्ञानमा महत्त्वपूर्ण विकासहरू निम्त्याएको छ।

P बनाम NP प्रश्नसँग सम्बन्धित मुख्य अवधारणाहरू मध्ये एक NP-पूर्णता हो। समस्या NP-पूर्ण हुन्छ यदि यो NP मा छ र NP मा कुनै पनि समस्या जत्तिकै कठिन छ, यस अर्थमा कि कुनै पनि NP समस्यालाई बहुपद-समय कटौती प्रयोग गरेर यसलाई कम गर्न सकिन्छ। NP-पूर्णताको अवधारणा स्टीफन कुकले आफ्नो सेमिनल 1971 पेपरमा प्रस्तुत गरेका थिए, जहाँ उनले SAT समस्या NP-पूर्ण छ भनेर प्रमाणित गरे। कुकको प्रमेयको रूपमा चिनिने यो नतिजा ग्राउन्डब्रेकिंग थियो किनभने यसले NP-पूर्ण समस्याको ठोस उदाहरण प्रदान गर्‍यो र अन्य NP-पूर्ण समस्याहरू पहिचान गर्नको लागि एउटा ढाँचा स्थापना गर्‍यो।

त्यसबेलादेखि, धेरै अन्य समस्याहरू NP-पूर्ण देखाइएको छ, जस्तै ट्राभलिङ सेल्सम्यान समस्या, गुट समस्या, र न्यापस्याक समस्या। NP-पूर्णताको महत्त्व यो हो कि यदि कुनै NP-पूर्ण समस्या बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिन्छ भने, NP मा प्रत्येक समस्या बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिन्छ, P = NP को अर्थ। यसको विपरित, यदि कुनै पनि NP-पूर्ण समस्या बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिँदैन भने, P ≠ NP।

NP-पूर्णताको अवधारणालाई चित्रण गर्न, यात्रा सेल्सम्यान समस्या (TSP) लाई विचार गर्नुहोस्। यस समस्यामा, एक सेल्सम्यानले सहरहरूको सेटको भ्रमण गर्नुपर्छ, प्रत्येक ठ्याक्कै एक पटक, र कुल यात्रा दूरी कम गर्ने लक्ष्यका साथ सुरु हुने सहरमा फर्कनुपर्छ। TSP को निर्णय संस्करणले दिइएको मान भन्दा कम वा बराबर कुल दूरी भएको शहरहरूको भ्रमण अवस्थित छ कि छैन भनेर सोध्छ। यो समस्या NP मा छ किनभने, प्रस्तावित भ्रमण दिएर, एकले सजिलैसँग बहुपदीय समयमा प्रमाणित गर्न सक्छ कि भ्रमणले दूरी बाधा पूरा गर्दछ। यसबाहेक, TSP NP-पूर्ण छ किनभने NP मा कुनै पनि समस्या बहुपद समयमा TSP को उदाहरणमा रूपान्तरण गर्न सकिन्छ।

अर्को उदाहरण क्लीक समस्या हो, जसले सोध्छ कि दिइएको ग्राफमा निर्दिष्ट आकारको पूर्ण सबग्राफ (क्लिक) समावेश छ। यो समस्या NP मा छ किनकि, उम्मेदवारको गुटलाई दिएर, एकले बहुपद समयमा प्रमाणित गर्न सक्छ कि यो वास्तवमै आवश्यक आकारको समूह हो। गुटको समस्या पनि NP-पूर्ण छ, यसको अर्थ यसलाई कुशलतापूर्वक समाधान गर्दा सबै NP समस्याहरू कुशलतापूर्वक समाधान गर्न सकिन्छ भन्ने संकेत गर्दछ।

P बनाम NP र NP-पूर्णताको अध्ययनले सैद्धान्तिक कम्प्युटर विज्ञानमा विभिन्न प्रविधि र उपकरणहरूको विकासको नेतृत्व गरेको छ। एउटा यस्तो प्रविधि बहुपद-समय घटाउने अवधारणा हो, जुन एक समस्या कम्तिमा अर्को जत्तिकै कठिन छ भनेर देखाउन प्रयोग गरिन्छ। समस्या A बाट समस्या B मा बहुपद-समय घटाउनु भनेको बहुपद समयमा A को उदाहरणहरूलाई B को उदाहरणहरूमा रूपान्तरण गर्ने रूपान्तरण हो, जस्तै B को रूपान्तरित उदाहरणको समाधान A को मूल उदाहरण समाधान गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। यदि समस्या A लाई बहुपद समयमा B लाई घटाउन सकिन्छ, र B लाई बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिन्छ, त्यसपछि A लाई बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिन्छ।

अर्को महत्त्वपूर्ण अवधारणा अनुमानित एल्गोरिदमको धारणा हो, जसले बहुपदीय समयमा NP-हार्ड समस्याहरू (कम्तीमा पनि NP-पूर्ण समस्याहरू जत्तिकै कठिन समस्याहरू) को निकट-इष्टतम समाधानहरू प्रदान गर्दछ। यद्यपि यी एल्गोरिदमहरूले सही इष्टतम समाधान फेला पार्दैनन्, तिनीहरूले असम्भव समस्याहरूको सामना गर्न व्यावहारिक दृष्टिकोण प्रदान गर्छन् जुन समाधानहरू प्रदान गर्दछ जुन सबै भन्दा राम्रो सम्भव छ। उदाहरणका लागि, ट्राभलिङ सेल्सम्यान समस्यासँग एक प्रसिद्ध अनुमानित एल्गोरिदम छ जसले मेट्रिक TSP (जहाँ दूरीहरूले त्रिभुज असमानतालाई सन्तुष्ट पार्छ) को लागि इष्टतम भ्रमणको 1.5 को कारक भित्र भ्रमणको ग्यारेन्टी दिन्छ।

P बनाम NP प्रश्न समाधान गर्ने प्रभावहरू सैद्धान्तिक कम्प्यूटर विज्ञान भन्दा बाहिर फैलिएको छ। क्रिप्टोग्राफीमा, धेरै ईन्क्रिप्शन योजनाहरू निश्चित समस्याहरूको कठोरतामा निर्भर हुन्छन्, जस्तै पूर्णांक फ्याक्टराइजेसन र डिस्क्रिट लोगारिदमहरू, जुन NP मा मानिन्छ तर P मा होइन। यदि P NP बराबर भएको भए, यी समस्याहरू सम्भावित रूपमा कुशलतापूर्वक समाधान गर्न सकिन्छ, सम्झौता गरेर। क्रिप्टोग्राफिक प्रणालीहरूको सुरक्षा। यसको विपरीत, P ≠ NP प्रमाणित गर्नाले त्यस्ता प्रणालीहरूको सुरक्षाको लागि बलियो आधार प्रदान गर्नेछ।

अप्टिमाइजेसनमा, धेरै वास्तविक-विश्व समस्याहरू, जस्तै समयतालिका, रूटिङ, र स्रोत विनियोजन, NP-हार्ड समस्याहरूको रूपमा मोडेल गरिएको छ। यदि P NP को बराबर थियो भने, यसको मतलब यो हो कि यी समस्याहरूलाई इष्टतम रूपमा समाधान गर्न कुशल एल्गोरिदमहरू विकास गर्न सकिन्छ, जसले विभिन्न उद्योगहरूमा महत्त्वपूर्ण प्रगतिहरू निम्त्याउँछ। यद्यपि, P ≠ NP ले यी समस्याहरूको व्यावहारिक समाधान प्रदान गर्ने ह्युरिस्टिक र अनुमानित एल्गोरिदमहरूको विकासमा निम्त्याएको छ भन्ने हालको धारणा।

P बनाम NP प्रश्नमा दार्शनिक प्रभावहरू पनि छन्, किनकि यसले गणितीय सत्यको प्रकृति र मानव ज्ञानको सीमाहरूलाई छुन्छ। यदि P NP को बराबर थियो भने, यसले छोटो प्रमाणको साथ प्रत्येक गणितीय कथनलाई कुशलतापूर्वक पत्ता लगाउन सकिन्छ, सम्भावित रूपमा गणितीय खोजको प्रक्रियामा क्रान्ति ल्याउन सक्छ। अर्कोतर्फ, यदि P ≠ NP हो भने, यसले गणितीय संरचनाहरूको जटिलता र समृद्धिलाई हाइलाइट गर्दै कुशलतापूर्वक गणना र प्रमाणीकरण गर्न सकिने अन्तर्निहित सीमाहरू छन् भनी सुझाव दिन्छ।

P vs NP प्रश्नको निश्चित उत्तरको अभाव भएता पनि, यसको वरपरको अनुसन्धानले कम्प्युटेसनल जटिलताको गहिरो बुझाइ र कम्प्युटर विज्ञानमा गहिरो प्रभाव पार्ने धेरै प्रविधि र उपकरणहरूको विकासको नेतृत्व गरेको छ। यस प्रश्नको समाधान गर्ने खोजले अनुसन्धानकर्ताहरूलाई उत्प्रेरित र चुनौती दिन जारी राख्छ, क्षेत्रमा प्रगतिलाई अगाडि बढाउँछ र गणनाको आधारभूत सीमाहरू बारे हाम्रो बुझाइलाई विस्तार गर्दछ।

अन्य भर्खरका प्रश्न र उत्तरहरू सम्बन्धमा जटिलता:

जटिलतामा थप प्रश्न र उत्तरहरू हेर्नुहोस्

थप प्रश्न र उत्तरहरू:

अन्तर्गत ट्याग गरिएको: , , , , ,