कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तको क्षेत्रमा, जटिलता वर्गहरू P र PSPACE बीचको सम्बन्ध अध्ययनको आधारभूत विषय हो। P जटिलता वर्ग PSPACE वर्गको उपसमूह हो वा दुबै वर्गहरू समान छन् भन्ने प्रश्नलाई सम्बोधन गर्न, यी वर्गहरूको परिभाषा र गुणहरू विचार गर्न र तिनीहरूको अन्तरसम्बन्धहरू विश्लेषण गर्न आवश्यक छ।
जटिलता वर्ग P (बहुपद समय) ले निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जुन बहुपद समय भित्र निर्धारणात्मक ट्युरिङ मेसिनद्वारा समाधान गर्न सकिन्छ। औपचारिक रूपमा, एक भाषा L P सँग सम्बन्धित छ यदि त्यहाँ एक निश्चित ट्युरिङ मेसिन M र एक बहुपद p(n) अवस्थित छ जस्तै कि प्रत्येक स्ट्रिङ x को लागि, M ले निर्णय गर्दछ कि x ले धेरैमा p(|x|) चरणहरूमा L सँग सम्बन्धित छ, जहाँ | x| स्ट्रिङ x को लम्बाइ जनाउँछ। सरल शब्दहरूमा, P मा समस्याहरू कुशलतापूर्वक समाधान गर्न सकिन्छ, इनपुट साइजको साथ धेरैजसो बहुपद रूपमा बढ्दै जाने समयको साथ।
अर्कोतर्फ, PSPACE (पोलिनोमियल स्पेस) ले निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जुन ट्युरिङ मेसिनद्वारा बहुपदीय मात्रा प्रयोग गरेर समाधान गर्न सकिन्छ। एउटा भाषा L PSPACE मा हुन्छ यदि त्यहाँ ट्युरिङ मेसिन M र एक बहुपद p(n) अवस्थित छ जस्तै कि प्रत्येक स्ट्रिङ x को लागि, M ले x ले धेरैजसो p(|x|) स्पेस प्रयोग गरेर L को हो कि होइन भन्ने निर्णय गर्छ। उल्लेखनीय रूपमा, गणनाको लागि आवश्यक समय बहुपदद्वारा बाँधिएको छैन; ठाउँ मात्र छ।
P र PSPACE बीचको सम्बन्ध बुझ्न, निम्न बुँदाहरू विचार गर्नुहोस्:
1. PSPACE मा P को समावेश: बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिने कुनै पनि समस्या बहुपद स्थानमा पनि समाधान गर्न सकिन्छ। यो किनभने एक निर्धारक ट्युरिङ मेसिन जसले बहुपद समयमा समस्या समाधान गर्छ, धेरैजसो बहुपद स्थानमा प्रयोग गर्नेछ, किनकि यसले लिने चरणहरूको संख्याभन्दा बढी ठाउँ प्रयोग गर्न सक्दैन। त्यसैले, P PSPACE को एक उपसमूह हो। औपचारिक रूपमा, P ⊆ PSPACE।
2. P र PSPACE को सम्भावित समानता: P PSPACE (P = PSPACE) सँग बराबर छ कि छैन भन्ने प्रश्न कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तमा प्रमुख खुला समस्याहरू मध्ये एक हो। यदि P PSPACE को बराबर थियो भने, यसले संकेत गर्दछ कि बहुपद स्थानको साथ समाधान गर्न सकिने सबै समस्याहरू पनि बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिन्छ। यद्यपि, यो समानताको पुष्टि वा खण्डन गर्न हाल कुनै प्रमाण छैन। धेरैजसो जटिलता सिद्धान्तवादीहरू विश्वास गर्छन् कि P कडा रूपमा PSPACE (P ⊊ PSPACE) भित्र समावेश छ, यसको मतलब PSPACE मा समस्याहरू छन् जुन P मा छैनन्।
3. उदाहरण र प्रभावहरू: दिइएको क्वान्टिफाइड बुलियन सूत्र (QBF) सत्य हो कि होइन भनेर निर्धारण गर्ने समस्यालाई विचार गर्नुहोस्। यो समस्या, TQBF (True Quantified Boolean Formula) को रूपमा चिनिन्छ, एक प्रामाणिक PSPACE-पूर्ण समस्या हो। समस्या PSPACE-पूर्ण हुन्छ यदि यो PSPACE मा छ र PSPACE मा प्रत्येक समस्यालाई बहुपद-समय कटौती प्रयोग गरेर यसलाई कम गर्न सकिन्छ। TQBF P मा छैन भन्ने विश्वास गरिन्छ, किनकि यसले चरहरूमा सबै सम्भावित सत्य कार्यहरू मूल्याङ्कन गर्न आवश्यक छ, जुन सामान्यतया बहुपदीय समयमा गर्न सकिँदैन। यद्यपि, यसलाई बहुपदीय स्पेस प्रयोग गरेर पुनरावर्ती उपसूत्रहरू मूल्याङ्कन गरेर समाधान गर्न सकिन्छ।
4. जटिलता वर्गहरूको पदानुक्रम: P र PSPACE बीचको सम्बन्धलाई जटिलता वर्गहरूको फराकिलो सन्दर्भलाई विचार गरेर राम्रोसँग बुझ्न सकिन्छ। वर्ग NP (Nondeterministic Polynomial Time) ले निर्णय समस्याहरू समावेश गर्दछ जसको समाधान बहुपदीय समयमा प्रमाणित गर्न सकिन्छ। यो ज्ञात छ कि P ⊆ NP ⊆ PSPACE। यद्यपि, यी वर्गहरू बीचको सही सम्बन्धहरू (उदाहरणका लागि, चाहे P = NP वा NP = PSPACE) अनसुलझे रहन्छन्।
5. सविचको प्रमेय: जटिलता सिद्धान्तमा एउटा महत्त्वपूर्ण नतिजा Savitch को प्रमेय हो, जसले बताउँछ कि nondeterministic polynomial space (NPSPACE) मा समाधान गर्न सकिने कुनै पनि समस्या deterministic polynomial space मा पनि हल गर्न सकिन्छ। औपचारिक रूपमा, NPSPACE = PSPACE। यस प्रमेयले PSPACE वर्गको बलियोपनलाई रेखांकित गर्दछ र हाइलाइट गर्दछ कि nondeterminism ले स्पेस जटिलताको सन्दर्भमा अतिरिक्त कम्प्युटेशनल शक्ति प्रदान गर्दैन।
6. व्यावहारिक प्रभावहरू: P र PSPACE बीचको सम्बन्ध बुझ्न व्यावहारिक कम्प्युटिङको लागि महत्त्वपूर्ण प्रभावहरू छन्। P मा समस्याहरू कुशलतापूर्वक समाधान योग्य मानिन्छ र वास्तविक-समय अनुप्रयोगहरूको लागि उपयुक्त छन्। यसको विपरित, PSPACE मा समस्याहरू, जबकि बहुपदीय स्पेसको साथ समाधान गर्न सकिन्छ, घातीय समय चाहिन्छ, तिनीहरूलाई ठूलो इनपुटहरूको लागि अव्यावहारिक बनाउँछ। P वा PSPACE मा समस्या छ कि छैन भनेर पहिचान गर्नाले वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरूको लागि कुशल एल्गोरिदमहरू फेला पार्ने सम्भाव्यता निर्धारण गर्न मद्दत गर्दछ।
7. अनुसन्धान निर्देशनहरू: P बनाम PSPACE प्रश्नको अध्ययन अनुसन्धानको सक्रिय क्षेत्र हो। यस क्षेत्रमा भएको प्रगतिले गणनाको आधारभूत सीमाहरू बुझ्नमा सफलता हासिल गर्न सक्छ। शोधकर्ताहरूले जटिलता वर्गहरू बीचको सम्बन्धमा अन्तरदृष्टि प्राप्त गर्न सर्किट जटिलता, अन्तरक्रियात्मक प्रमाणहरू, र बीजगणितीय विधिहरू जस्ता विभिन्न प्रविधिहरू अन्वेषण गर्छन्।
जटिलता वर्ग P वास्तवमा PSPACE को एक उपसमूह हो, किनकि बहुपद समयमा समाधान गर्न सकिने कुनै पनि समस्या बहुपद स्थानमा पनि समाधान गर्न सकिन्छ। यद्यपि, P PSPACE बराबर छ कि छैन कम्प्युटेसनल जटिलता सिद्धान्तमा खुला प्रश्न रहन्छ। प्रचलित विश्वास यो हो कि P PSPACE भित्र कडा रूपमा समावेश छ, PSPACE मा समस्याहरू छन् जुन P मा छैनन् भनेर संकेत गर्दछ। यस सम्बन्धले कम्प्युटिङको सैद्धान्तिक र व्यावहारिक पक्षहरू दुवैको लागि गहिरो प्रभाव पार्छ, अनुसन्धानकर्ताहरूलाई तिनीहरूको वास्तविक प्रकृति बुझ्न खोज्न मार्गदर्शन गर्दछ। कम्प्यूटेशनल जटिलता।
अन्य भर्खरका प्रश्न र उत्तरहरू सम्बन्धमा जटिलता:
- के PSPACE वर्ग EXPSPACE वर्गको बराबर छैन?
- के हामी एक निश्चित TM मा कुनै पनि NP पूर्ण समस्याको लागि एक कुशल बहुपद समाधान खोजेर Np र P वर्ग समान छन् भनेर प्रमाणित गर्न सक्छौं?
- के NP वर्ग EXPTIME कक्षा बराबर हुन सक्छ?
- के PSPACE मा समस्याहरू छन् जसको लागि कुनै ज्ञात NP एल्गोरिथ्म छैन?
- के एक SAT समस्या NP पूर्ण समस्या हुन सक्छ?
- के NP जटिलता वर्गमा समस्या हुन सक्छ यदि त्यहाँ एक गैर-निर्धारित ट्युरिङ मेसिन छ जसले यसलाई बहुपद समयमा समाधान गर्नेछ।
- NP बहुपदीय समय प्रमाणिकरण भएका भाषाहरूको वर्ग हो
- के P र NP वास्तवमा एउटै जटिलता वर्ग हो?
- के प्रत्येक सन्दर्भ मुक्त भाषा P जटिलता वर्गमा छ?
- के त्यहाँ बहुपद-समय प्रमाणिकरणहरूको साथ निर्णय समस्याहरूको वर्गको रूपमा NP को परिभाषा र वर्ग P मा पनि बहुपद-समय प्रमाणिकरणहरू छन् भन्ने तथ्य बीचको विरोधाभास छ?
जटिलतामा थप प्रश्न र उत्तरहरू हेर्नुहोस्